HMY - Φωτονική Διάλεξη 8 Οι εξισώσεις του Mawell Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη Πολλαπλασιασμός Πρόσθεση διανυσμάτων Βαθμωτό: το μέγεθος που για τον προσδιορισμό του χρειάζεται μόνο το μέτρο του και η μονάδα μέτρησης του (μάζα, θερμοκρασία, κ.λπ... Διανυσματικό: το μέγεθος που για τον προσδιορισμό του χρειάζεται εκτός από το μέτρο του και η κατεύθυνση του (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, ηλεκτρικό πεδίο Εσωτερικό γινόμενο (dot podut Γεωμετρικά: osθ θ Το εσωτερικό γινόμενο είναι βαθμωτό μέγεθος Εξωτερικόγινόµενο (oss podut det ( ( ( Ισούται µε την ορίζουσα του πίνακα (χρησιµοποιώντας το µοναδιαίο διάνυσµα: Το εξωτερικό γινόµενο είναι διάνυσµα.
Εξωτερικό γινόμενο(osspodut Γεωμετρικά: sinθ n n Οπού n είναιµοναδιαίοδιάνυσµα θ ΑΒ Βαθμωτό πεδίο(sala field Είναι βαθμωτό μέγεθος που ορίζεται σε κάθε σημείο του δισδιάστατου ή τρισδιάστατου χώρου. Αναλυτικά για δυο διαστάσεις: (, f (, Παραδείγματος χάριν: (, sin( Αριθμητικά για δυο διαστάσεις: 8 9 8 8 8 7 7 7 9 78 9 7 7 89 8 7 87 9 9 87 8 8 98 9 9 7 8 9 8 7 7 8 9 87 Πίνακας αριθμών Γραφικά: 7 Τρισδιάστατο βαθμωτό πεδίο 8 Παραδείγματος χάριν: (,, e ( ( ( e e Επιφανειακή γραφική παράσταση f (, - Περιγραμματική γραφική παράσταση 9 8 7.9.8.7. - 8 - -..... D satte plot with olou giving the field value
9 Διανυσματικό πεδίο Γραφικά: Δισδιάστατο διανυσματικό πεδίο (, sin( i ( j Είναι το διανυσματικό μέγεθος που ορίζεται σε κάθε σημείο D ή D χώρου. Μήκος του βέλους μέτρο Αριθμητικά για τρεις διαστάσεις : Αναλυτικά για τρεις διαστάσεις: (,, i j k 8 i 8 j 8 k (sin, sin Συναρτήσεις των (,, Παραδείγματος χάριν, οι έγχρωμες εικόνες είναι διανυσματικά πεδία. Δισδιάστατο παράδειγμα (, os( i j ( Κλίση ενός βαθμωτού πεδίου Παραδείγματα Παράδειγμα: Δύο διαστάσεις Η κλίση εξαρτάται από την κατεύθυνση (, d d d Χάρτης ταχυτήτων των ανεμών Διανυσματικό πεδίο Χάρτης θερμοκρασίας Βαθμωτό πεδίο - - - d (d d Εσωτερικό γινόμενο d ( (d l
.. -. - -. (, - - - - - -. - -... Σε δύο διαστάσεις Gad Η κλίση ενός βαθμωτού πεδίου είναι ένα διανυσματικό πεδίο. Η κλίση του βαθμωτού πεδίου σε ένα οποιοδήποτε σημείο, δείχνει την κατεύθυνση στην οποία το πεδίο αυξάνεται με μεγαλύτερο ρυθμό, ενώ το μέτρο της κλίσης προσδιορίζει το πόσο γρήγορα αυξάνεται το πεδίο σε εκείνη την κατεύθυνση... -. - -. Κλίση: Ένα άλλο παράδειγμα - - -. - -... Χρωματική γραφική παράσταση βαθμωτό πεδίο Βέλη κλίση του βαθμωτού πεδίου (διανυσματικό πεδίο 8 - - Επιφανειακή γραφική παράσταση ενός δισδιάστατου βαθμωτού πεδίου Τελεστής ανάδελτα(del opeato Σε τρεις διαστάσεις Απόκλιση ενός διανυσματικού πεδίου Το ανάδελτα δεν είναι διάνυσμα, είναι διανυσματικός διαφορικός τελεστής Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για διανυσματικούς υπολογισμούς (όπως το εσωτερικό γινόμενο και το εξωτερικό γινόμενο: ( Εσωτερικό γινόμενο με ένα διανυσματικό πεδίο: απόκλιση Divegene: Το αποτέλεσμα είναι ένα βαθμωτό πεδίο Εξωτερικό γινόμενο με ένα διανυσματικό πεδίο: περιστροφή Cul: Το αποτέλεσμα είναι ένα άλλο διανυσματικό πεδίο Το αποτέλεσμα είναι ένα βαθμωτό πεδίο Η απόκλιση δείχνει τη "ροή" του πεδίου.
Παράδειγμα: Εστω το διανυσματικό πεδίο 7 8 Χρωματική γραφική παράσταση απόκλιση...8..... Y Y -. -..8 - -. - -.... - - -. - -... X - - - X Ένα άλλο παράδειγμα: 9. Χρωματική γραφική παράσταση απόκλιση.. -.. - -. - -. - - - - -. - -... -. - - - -
Περιστροφή ενός διανυσματικού πεδίου ( Παράδειγμα: Έστω το διανυσματικό πεδίο:...8... -. -. det - -. - - - -. -. -.8. Χρωματική γραφική παράσταση συνιστώσα-της περιστροφής του.8.. Ένα άλλο παράδειγμα:.. ( sin.. -. - -. - - - -. -. -. -.8 -. - -. - - -. - -...
- - - -. - -... -7 - - - - - - ( sin ( ( ( os sin Χρωματική γραφική παράσταση συνιστώσα-της περιστροφής του Μια σύγκριση της απόκλισης και της περιστροφής για τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις 7 Το Laplaian του βαθμωτού μεγέθους: 8 Το Laplaian ενός διανυσματικού πεδίου: To Laplaian μας δίνει την κυρτότητα μιας συνάρτησης.
9 Οι εξισώσεις του Mawell Οι εξισώσεις του Mawell στο κενό. D ρ Gauss s law (-fields Faada s law t. D. t H D t. Gauss s law (H-fields D H t mpee s law J µ διαπερατότητα (Hm - Οδηγούν στις κυματικές εξισώσεις t t ηλεκτρικόπεδίο (m - H μαγνητικόπεδίο (m - D ε πυκνότητα ηλεκτρικής ροής (Cm - µ H πυκνότητα μαγνητικής ροής (T 8. ε µ m/s Εξαγωγή της κυματικής εξίσωσης από τις εξισώσεις Mawell t Έτσι: Και: D H µε t t ( ( t ( t ( µε t t ( ( t ( µε t
Μπορούμε να αποδείξουμε ότι: ( ( µε t Έτσι ( ( µε. D. t 9 όροι t t t Έτσι µε t t Η τρισδιάστατη εξίσωση κυμάτων Μην ξεχνάτε ότι υπάρχει και κυμάτική εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο! Για να απλοποιήσουμε την ανάλυση, υποθέτουμε ότι η λύση της προηγούμενης εξίσωσης είναι ένα εγκάρσιο οδεύον κύμα. Η διαταραχή (κύμα ταξιδεύει κατά μήκος του άξονα και το ηλεκτρικό πεδίο ταταντεύεται στον άξονα. Τι γίνεται με το μαγνητικό πεδίο; Ο νόμος του Faada: t t ω ( k t os k sin ( k t ω t Τώρα η κυματική εξίσωση είναι μονοδιάστατη: t k os ω ( k t ω v P ω k
7 8 Μια λύση: k, και είναι σε φάση. Σε μια γενική κατεύθυνση, έχουμε:,,, t sin ( ( k ωt k k π λ k k κυματοδιάνυσμα Επίπεδο σταθερού k k k k onst (, t j ( k ωt e Γιατί αγνοούμε το μαγνητικό πεδίο (τις περισσότερες φορές στην οπτική; 9 Το ηλεκτρικό πεδίο είναι πάντα κάθετο με το κυματοδιάνυσμα ; k Η δύναμη που ασκείται σε ένα φορτίο είναι: F eletial F magneti F q q v O λόγος της μαγνητικής προς την ηλεκτρική δύναμη είναι: Όμως, F F / magneti eletial F F qv q magneti eletial v v ταχύτητα του φορτίου v v sinθ v Εάν η ταχύτητα του φορτίου είναι χαμηλή σε σχέση με το, μπορούμε να αγνοήσουμε τη δύναμη του μαγνητικού πεδίου. Από το νόμο του Gauss j( k ωt (, t e jk k j( k ωt e Το ηλεκτρικό πεδίο είνει πάντα κάθετο με το μαγνητικό πεδίο: Το μαγνητικό πεδίο είνει πάντα κάθετο με το κυματοδιάνυσμα: k
Πυκνότητα ενέργειας σε ηλεκτροστατικό πεδίο : u ε Πυκνότητα ενέργειας σε στατικό μαγνητικό πεδίο : u µ Η πυκνότητα ενέργειας ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος οφείλεται εξίσου στο ηλεκτρικό και στο μαγνητικό πεδίο. όγκος δ u εμβαδόν Α u u total ε µ δt k Ισχύς P eneg δt P u uδ δt uδt δt u ε ε ε ε µ u u ε u u total µ Powe pe unit aea: Ισχύς ανά μονάδα επιφάνειας: u ε ε Διάνυσμα Ponting Το διάνυσμα Ponting ταλαντώνεται πολύ γρήγορα! os( ωt os( ωt ε os Παίρνουμε το χρονικό μέσο όρο(time aveage: ε os ( ωt ( ωt Οι οπτικοί ανιχνευτές δεν μπορούν να αποκριθούν τόσο γρήγορα os ( ωt ( os ωt ε Iadiane ( Intensit I Ακτινοβόληση